Question

【题目】已知函数f（x）= sinxcosx﹣cos2x+ ，（x∈R）．
（1）若对任意x∈[﹣ ， ]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；
（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移 个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣ 在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= sinxcosx﹣cos2x+

= sin2x﹣ cos2x=sin（2x﹣ ），

若对任意x∈[﹣ ， ]，都有f（x）≥a，

则只需 f（x）min≥a即可．

∵2x﹣ ∈[﹣ ， ]，故当2x﹣ =﹣ 时，

f（x）min=﹣ ，故 a≤﹣ ．

（2）解：若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，

横坐标变为原来的2倍，可得y=sin（x﹣ ）的图象；

然后再向左平移 个单位得到函数y=g（x）=sinx的图象．

令g（x）﹣ =0，求得sinx= ，

求函数y=g（x）﹣ 在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．

由图可知，sinx= 在区间[﹣2π，4π]内有6个零点：x1，x2，x3，x4，x5，x6，

根据对称性有 =﹣ ， = ， = ，

从而所有零点和为：x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π．

【解析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据题意，x∈[﹣ ， ]时，f（x）min≥a．再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最小值，可得a的范围．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，根据正弦函数的图象的对称性，求得函数y=g（x）﹣ 在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．