Question

（2009•孝感模拟）已知函数f(x)=

1-a+lnx

x

，a∈R
（1）求f（x）的极值；
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）-e=0在[

1

e2

，1]上有唯一实根，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．
（2）将问题转化为

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立的问题，然后求函数 g(x)=

lnx

x

(x＞0)．的最大值，令k大于这个最大值即可．
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，x∈[

1

e2

，1]，然后利用导数研究函数g（x）在[

1

e2

，1]上的单调性和极值即可求出所求．

解答：解：（1）∵f/(x)=

a-lnx

x2

，令f′（x）=0，∴x=e^a------------------------------------------------（2分）
由下表：

x	（0，ea）	ea	（ea，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

∴f（x）的极大值为f(ea)=

1-a+a

ea

=e-a
故f（x）的最大值为e^-a．-------------------------------------------------------（4分）
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，∴k＞

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立∴k＞[

lnx

x

]max-------------（6分）
由（1）：令a=1，则f(x)=

lnx

x

，∴[

lnx

x

]max=

1

e

∴k＞

1

e

--------------------------（8分）
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，x∈[

1

e2

，1]------------------------------（10分）
则g′(x)=

1

x

-e，由g′（x）=0 得x=

1

e

，
当x∈[

1

e2

，

1

e

)：g′(x)＞0，∴g（x）单调递增；当x∈(

1

e

，1]：g′(x)＜0，∴g（x）单调递减．
且g(

1

e2

)=1+ln

1

e2

-e•

1

e2

=-1-

1

e

，g(

1

e

)=1+ln

1

e

-e•

1

e

=-1，g（1）=1-e∵g(

1

e2

)-g(1)=-2+e-

1

e

=

e2-2e-1

e

=

(e-1)2-2

e

＜0∴g(

1

e2

)＜g(1)
由题意得：a∈[g(

1

e2

)，g(1)]∪{g(

1

e

)}
即a∈[-1-

1

e

，1-e)∪{-1}--------------------------------------------------------（13分）

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．