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设函数f(x)=ax+2,g(x)=a2x2+2-lnx,其中a∈R,x>0.

(1)若a=2,求曲线y=g(x)在(1,g(1))点处的切线方程;

(2)是否存在负数a,使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  解:(1)由题意可知:当时,

  则.(2分)

  曲线在点处的切线斜率

  又(3分)

  曲线在点处的切线方程为,即.(5分)

  (2)设函数

  假设存在负数,使对一切正数都成立.

  即当时,的最大值小于等于零.

  (7分)

  令可得(舍).(8分)

  当时,单调递增;

  当时,单调递减.

  所以处有极大值,也是最大值.

  ,解得(10分)

  所以负数存在,它的取值范围为(12分)


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          (Ⅱ)是否存在实数a,对任意的 x∈(0,e],都有唯一的 x0∈[e-4,e],使得 f (x0)=g(x) 成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

 

注:e是自然对数的底数.

 

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程为y=3.

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(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,

并求出此定值.

 

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