Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²．
（1）求函数y=f（x）的极大值；
（2）令g（x）=f（x）+

3

2

x²+（m-1）x（m为实常数），试判断函数g（x）的单调性；
（3）若对任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，判断出函数在各区间段内的单调性，从而判出函数的极值点并求出极值；
（2）把函数f（x）的解析式代入后求导，然后对m进行分类，根据m的不同范围分析导函数在不同区间内的符号，从而得到函数g（x）的单调区间；
（3）把函数f（x）的导函数代入不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0的左侧，根据给出的x的范围得到ln[f′（x）+3x]恒大于等于0，而|a-lnx|恒大于等于0，所以只需把使两者同时为0的a值排除即可．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²，∴函数y=f（x）的定义域为（-

2

3

，+∞）．
由f′(x)=

3

3x+2

-3x=

3-9x2-6x

3x+2

=-

9(x+1)(x- 1 3 )

3x+2

=0，得x=

1

3

，
当x∈(-

2

3

，

1

3

)时，f^′（x）＞0，当x∈(

1

3

，+∞)时，f^′（x）＜0．
∴y=f（x）在(-

2

3

，

1

2

]上为增函数，在[

1

3

，+∞)上为减函数，
∴函数f（x）的极大值为f(

1

3

)=ln(2+3×

1

3

)-

3

2

×(

1

3

)2=ln3-

1

6

．
（2）由g（x）=f（x）+

3

2

x²+（m-1）x，
得g（x）=ln（2+3x）+（m-1）x  （x＞-

2

3

），
所以g′(x)=

3

2+3x

+m-1=

3(m-1)x+2m+1

2+3x

．
①当m-1=0，即m=1时，g′(x)=

3

2+3x

＞0，∴g（x）在(-

2

3

，+∞)上为增函数；
②当m-1≠0，即m≠1时，g′(x)=

3(m-1)x+2m+1

2+3x

=

3(m-1)[x+ 2m+1 3(m-1) ]

2+3x

．
由g^′（x）=0，得：x=-

2m+1

3(m-1)

，∵-

2m+1

3(m-1)

-(-

2

3

)=-

1

m-1

，
∴1°若m＞1，则-

1

m-1

＜0，-

2m+1

3(m-1)

＜-

2

3

，∴x＞-

2

3

时，g^′（x）＞0，∴g（x）在(-

2

3

，+∞)上为增函数；
2°若m＜1，则-

2m+1

3(m-1)

＞-

2

3

，∴当x∈(-

2

3

，-

2m+1

3(m-1)

)时，g^′（x）＞0；当x∈(-

2m+1

3(m-1)

，+∞)时，
g^′（x）＜0，∴g（x）在(-

2

3

，-

2m+1

3(m-1)

]上为增函数，在[-

2m+1

3(m-1)

，+∞)上为减函数．
综上可知，当m≥1时，g（x）在(-

2

3

，+∞)上为增函数；
当m＜1时，g（x）在(-

2

3

，-

2m+1

3(m-1)

]上为增函数，在[-

2m+1

3(m-1)

，+∞)上为减函数．
（3）∵f′(x)=

3

2+3x

-3x，
由|a-lnx|+ln[f^′（x）+3x]＞0，得：|a-lnx|+ln

3

2+3x

＞0，
∵x∈[

1

6

，

1

3

]，∴0≤ln

3

2+3x

≤ln

6

5

，而|a-lnx|≥0，
∴要对任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f^′（x）+3x]＞0均成立，
须ln

3

2+3x

与|a-lnx|不同时为0．
因当且仅当x=

1

3

时，ln

3

2+3x

=0，所以为满足题意必有|a-ln

1

3

|≠0，即a≠ln

1

3

．
故对任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立的实数a的取值范围是{a|a≠ln

1

3

}．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数在某点取得极值的条件，考查了函数恒成立问题，连续函数在定义域内某点的两侧的单调性不同，则该点是函数的极值点，此题是中档题．