Question

已知命题P：?x∈R，使sinx+cosx=

4

3

，命题q：

x-1

x-2

＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题； 
②命题“p∧￢q”是假命题；
③命题“￢p∨q”是真命题； 
④命题“￢p∨￢q”是假命题．
其中正确的是（　　）

A．②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：根据sinx+cosx在R上的取值范围是[-

2

，

2

]，可得命题P是真命题；根据分式不等式转化为整式不等式，再解不等式，可得命题Q也是真命题．再结合含有逻辑连接词“或”、“且”的命题真假判断法则，不难得到本题的答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
∴sinx+cosx的最大值为

2

，最小值为-

2

而0＜

4

3

＜

2

，说明存在实数x，使得sinx+cosx=

4

3

成立，
因此，命题P是真命题；
∵

x-1

x-2

＜0等价于（x-1）（x-2）＜0，解之得1＜x＜2
∴

x-1

x-2

＜0的解集是{x|1＜x＜2}，命题Q是真命题
综上所述，命题P、Q都是真命题，则?p和?q都是假命题
结合含有逻辑连接词“或”、“且”的命题真假判断法则，可得①②③④都是正确的．
故选D

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了三角函数的值域和分式不等式的解法等知识，考查了复合命题真假的判断法则，属于基础题．