Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，且a₁=b₁，a₂=b₂，a₁≠a₂，a_n＞0，n∈N^*．
（1）试比较a₃与b₃，a₄与b₄的大小；
（2）试猜想a_n与b_n（n≥3，n∈N^*）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列、等比数列的通项公式求出a₃与b₃，a₄与b₄的利用作差或作商进行大小比较．
（2）由（1）根据a₃与b₃，a₄与b₄的大小，猜测大小关系，再利用数学归纳法进行证明即可．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，a₁=b₁=a＞0，
∵a₂=b₂＞0，∴a+d=aq＞0，可得d=a（q-1）．a₁≠a₂，a_n＞0，∴d＞0，q＞1．
a₃-b₃=（a+2d）-aq²=2aq-a-aq²=-a（1-q）²＜0，∴a₃＜b₃，
a₄-b₄=（a+3d）-aq³=3aq-2a-aq³=-a（q-1）²（q+2）＜0，∴a₄＜b₄，
（2）猜想a_n＜b_n（n≥3，n∈N^*）
下面用数学归纳法证明．
①当n=3时，由（1）知，不等式成立．
②假设当n=k（n≥3，n∈N^*）时不等式成立，即a_k＜b_k
即a+（k-1）a（q-1）＜aq ^k-1，
则当n=k+1时，a_k+1=a_k+a（q-1）＜aq ^k-1+a（q-1）=a（q ^k-1+q-1），
a_k+1-b_k+1＜a（q ^k-1+q-1）-aq ^k=a（q ^k-1-1）（1-q）＜0．
所以a_k+1＜b_k+1＜a，即当n=k+1时，不等式也成立
由①②可知猜想正确，即当n≥3，n∈N^*时，a_n＜b_n

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若（1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立