Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是菱形，四边形是矩形，平面平面，，，，为的中点，为线段上的一点.

（1）求证：；

（2）若二面角的大小为，求的值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）连接DB，由已知可得△ABD为等边三角形，得到DE⊥AB，则DE⊥DC，再由ADNM为矩形，得DN⊥AD，由面面垂直的性质可得DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，由线面垂直的判断可得DE⊥平面DCN，进一步得到DE⊥CN；

（2）由（1）知DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，DN⊥DC，又DE⊥DC，以D为坐标原点，DE、DC、DN分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，λ∈[0，1]，分别求出平面PDE与平面DEC的一个法向量，由二面角P﹣DE﹣C的大小为列式求得λ即可．

（1）连接.

在菱形中，，，

为等边三角形.

又为的中点，.

又，.

四边形为矩形，.

又平面平面，

平面平面，

平面，

平面.

平面，.

又

平面.

平面，

.

（2）由（1）知平面，

平面，。

两两垂直.

以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

设，

则，.

设平面的法向量为，

则，

即，

令，则.

由图形知，平面的一个法向量为，

则，

即，即.

，

解得，的值为.