Question

2．设函数f（x）=log₂（4x）•log₂（$\frac{x}{2}$），$\frac{1}{4}$≤x≤4．
（1）求f（$\frac{1}{2}$）；
（2）若t=log₂x，求t的取值范围；
（3）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可，
（2）根据t=log₂x在$\frac{1}{4}$≤x≤4为增函数，即可求出t的取值范围，
（3）根据对数的运算性质，化简f（x），采用（2）的换元，根据二次函数的性求出函数的最值．

解答 解：（1）f（1）=log₂2•log₂（$\frac{1}{4}$）=1×（-2）=-2，
（2）∵t=log₂x在$\frac{1}{4}$≤x≤4为增函数，
∴log₂$\frac{1}{4}$≤t≤log₂4，
∴-2≤t≤2，
（3）f（x）=log₂（4x）•log₂（$\frac{x}{2}$）=（2+log₂x）（log₂x-1），
∴f（t）=（2+t）（t-1）=t²+t-2，（-2≤t≤2），
∴f（t）在[-2，-$\frac{1}{2}$]上单调递减，在（-$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴f（t）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，f（t）_max=f（2）=4，
∴log₂x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，log₂x=2，x=4，
∴当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）有最小值，最小值为-$\frac{9}{4}$，
当x=4时，f（x）有最大值，最大值为4．

点评 本题考查了对数函数的运算性质，以及对数函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．