Question

13．设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）试证明：对任意的a，b∈[-1，1]，满足：f（a）+f（-b）=f（a）-f（b）；
（2）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（3）如果g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c²）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
（2）利用函数单调性的定义判断函数的单调性即可．
（3）求出两个函数的定义域，根据集合的基本运算进行求解即可．

解答 解：（1）由f（x）为[-1，1]上的奇函数，则
f（a）+f（-b）=f（a）-f（b）成立．   （2分）
（2）设-1≤x₁＜x₂≤1，由奇函数的定义和题设条件，得：
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=$\frac{f（{x}_{2}）+f（-{x}_{1}）}{{x}_{2}+（-{x}_{1}）}$•（x₂-x₁）＞0，
则f（x）在[-1，1]，上是增函数．
∵a，b∈[-1，1]，a＞b，
∴f（a）＞f（b）．    （7分）
（3）设函数g（x），h（x）的定义域分别为P和Q，
则P={x|-1≤x-c≤1}={x|c-1≤x≤c+1}，
Q={x|-1≤x-c²≤1}={x|c²-1≤x≤c²+1}，
于是P∩Q=∅的等价条件是c+1＜c²-1或c²+1＜c-1．
解得c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．      （13分）

点评 本题主要考查出抽象函数的应用，结合函数单调性的定义是解决本题的关键．