Question

18．△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，BC边上的高为AD．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{AD}$|=1，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$的值；
（Ⅱ）若b=c，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，当$\frac{a}{b}$∈（$\sqrt{3}$，2）时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的数量积的定义和几何意义，即可得到；
（Ⅱ）若b=c，则D为BC的中点，运用向量的数量积的定义和余弦定理，结合中线长公式，再由不等式的性质，即可求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos∠BAD=|$\overrightarrow{AD}$|²=1；
（Ⅱ）若b=c，则D为BC的中点，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，即为AD²=m（cbcosA）=$\frac{1}{2}$m（c²+b²-a²），
由中线长公式可得a²+4AD²=2（b²+c²），
即有AD²=b²-$\frac{1}{4}$a²，
则有m=$\frac{{b}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}{{b}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$=1+$\frac{{a}^{2}}{4{b}^{2}-2{a}^{2}}$
=1+$\frac{1}{\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}-2}$，
由$\frac{a}{b}$∈（$\sqrt{3}$，2），可得$\frac{b}{a}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{3}}$），
即有（$\frac{b}{a}$）²∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$），
则有$\frac{1}{\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}}-2}$∈（-$\frac{3}{2}$，-1）．
故m的范围是（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查向量的数量积的定义和几何意义，考查余弦定理和中线长公式和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．