Question

9．设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x²-2x-3≤0的解集为N．
（1）当a=4时，求集合M∩N；
（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=4代入x（x-a-1）＜0，直接求解一元二次不等式得集合M；
（2）求解一元二次不等式化简集合N，然后分a＜-1、a=-1、a＞-1求解集合M，再由M⊆N结合集合端点值间的关系列不等式求解实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=4时，由已知得x（x-5）＜0．
解得0＜x＜5．
所以M={x|0＜x＜5}．…（3分）
由已知得N={x|-1≤x≤3}，
所以M∩N={x|0＜x≤3}；
（2）由已知得N={x|-1≤x≤3}．…（5分）
①当a＜-1时，因为a+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}．
因为M⊆N，所以-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1；…（8分）
②若a=-1时，M=∅，显然有M⊆N，所以a=-1成立；…（10分）
③若a＞-1时，因为a+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}．
又N={x|-1≤x≤3}，因为M⊆N，所以0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2．…（12分）
综上所述，a的取值范围是[-2，2]．…（13分）

点评 本小题主要考查一元二次不等式的解法、集合之间的包含关系、集合关系中的参数取值问题等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于中档题．