Question

19．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$．
（1）当a=$\frac{16}{3}$时，求f（x）在定义域内的单调区间；
（2）若当x＞1时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）先求导，再利用导数和函数单调性的关系即可求出单调区间；
（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值；
（3）由（2）∈（1，+∞），lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，令x=$\frac{k+1}{k}$，得到$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{1}{2k+1}$，利用累加，即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=lnx+$\frac{16}{3（x+1）}$，其定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{16}{3（x+1）^{2}}$=$\frac{3（x+1）^{2}-16x}{3（x+1）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{3}$，或x=3，
当f′（x）＞0，即0＜x＜$\frac{1}{3}$，或x＞3时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即$\frac{1}{3}$＜x＜3时，函数单调递减，
∴f（x）在定义域内的单调增区间为（0，$\frac{1}{3}$），（3，+∞），单调减区间为（$\frac{1}{3}$，3）；
（2）当x＞1时，f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$＞1恒成立，
∴a＞（x+1）（1-lnx）在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=（x+1）（1-lnx），
∴g′（x）=-$\frac{1}{x}$-lnx＜0在（1，+∞）恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）单调递减，
∴g（x）_max=g（1）=2
∴a≥2；
（3）当a=2时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$，
由（2）知x∈（1，+∞），lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1
∴lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，
令x=$\frac{k+1}{k}$，
∴ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{1}{2k+1}$，
∴ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$

点评 本题考查导数知识的运用，函数的单调性，函数恒成立问题，不等式的证明，属于中档题．