Question

14．已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=3^x-5，
（1）已知集合A={x|m（x-2m）（x+m+3）≤0}，B={y|y=g（x），x∈[0，log₃7]}，若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充要条件，求实数m的值；
（2）若同时满足条件：①?x∈[1，+∞），f（x）＜0；②?x∈（-∞，-4），f（x）•g（x）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据g（x）的单调性求出g（x）的最大值和最小值，结合p是q的充要条件，得到-4，2是方程（x-2m）（x+m+3）=0的根，解出a的值即可；
（2（可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由（2）可得：?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，只要使-4比2m，-m-3中较小的一个大即可，分类讨论可得m的范围，综合可得．

解答 解：（1）∵g（x）在x∈[0，log₃7]上递增，
∴g（x）_min=g（0）=-4，g（x）_max=g（log₃7）=2，
若p是q的充要条件，则-4，2是方程（x-2m）（x+m+3）=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m=2}\\{-m-3=-4}\end{array}\right.$，解得：m=-1；
（2）解：∵g（x）=3^x-5，当x＜-4时，g（x）＜0，
又∵?x∈[1，+∞），f（x）＜0，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，
即 $\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-m-3＜1}\\{2m＜1}\end{array}\right.$，解得-4＜m＜0；
又因为?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此时有g（x）=2^x-2＜0．
∴?x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故只要使-4比2m，-m-3中较小的一个大即可，
当m∈（-1，0）时，2m＞-m-3，只要-4＞-m-3，解得m＞1与m∈（-1，0）的交集为空集；
当m=-1时，两根为-2；-2＞-4，不符合；
当m∈（-4，-1）时，2m＜-m-3，∴只要-4＞2m，解得m＜-2，
综上可得m的取值范围是：（-4，-2）．

点评 本题为二次函数和指数函数的综合应用，涉及数形结合的思想，属中档题．