Question

设φ∈(0，

π

4

)，函数f（x）=sin²（x+φ），且f(

π

4

)=

3

4

．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f(

π

4

)=

3

4

代入f（x）=sin²（x+φ），化简为sin2φ=

1

2

，根据φ∈(0，

π

4

)，直接求出φ的值；
（Ⅱ）化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用x∈[0，

π

2

]，求出相位的范围，即可求f（x）的最大值及相应的x值．

解答：（Ⅰ）解：∵f(

π

4

)=sin2(

π

4

+φ)=

1

2

[1-cos(

π

2

+2φ)]=

1

2

(1+sin2φ)=

3

4

，∴sin2φ=

1

2

（4分）
∵φ∈(0，

π

4

)，∴2φ∈(0，

π

2

)，∴2φ=

π

6

，φ=

π

12

．（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f(x)=sin2(x+

π

12

)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)+

1

2

（8分）
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

（9分）
当2x+

π

6

=π，即x=

5π

12

时，cos(2x+

π

6

)取得最小值-1（11分）
∴f（x）在[0，

π

2

]上的最大值为1，此时x=

5π

12

（12分）

点评：本题是中档题，高考常考题，考查二倍角公式的应用，三角函数的最值等有关知识，整体思想的应用，掌握基本函数的基本性质是解好数学问题的前提，体现学生的数学解题素养．