Question

8．设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y-x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x²+（y-1）²的取值范围是[$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 画出A∩B表示的平面区域，x²+（y-1）²表示可行域中的动点到定点（0，1）距离的平方，然后由点到直线的距离公式及两点间的距离公式求得答案．

解答 解：∵A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y-x）（y+x）≤0}，且M=A∩B，
画出集合M所表示的区域如图：
x²+（y-1）²表示可行域中的点到点（0，1）距离的平方，
由上图可知：点（0，1）到直线y=x的距离的平方最小，等于$（\frac{|-1|}{\sqrt{2}}）^{2}=\frac{1}{2}$，
点B或D到（0，1）的距离平方最大，等于|0B|²=$（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{5}{2}$．
∴x²+（y-1）²的取值范围是[$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$]．
故答案为：[$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$]．

点评 此题主要考查线性规划的应用，解决此题的关键是画出可行域，考查的知识点比较全面，是中档题．