Question

18．已知复数z=$\frac{（1+i）+\sqrt{3}（1-i）}{4+4i}$，求z²+$\frac{1}{z}$的值．

Answer 1

分析 首先化简复数z，然后代入z²+$\frac{1}{z}$计算即可．

解答 解：由已知z=$\frac{（1+i）+\sqrt{3}（1-i）}{4+4i}$=$\frac{（1+i）（1-i）+\sqrt{3}（1-i）^{2}}{4（1+i）（1-i）}$=$\frac{2-2\sqrt{3}i}{8}$=$\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$，
所以z²+$\frac{1}{z}$=（$\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$）²+$\frac{1}{\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i}$=-$\frac{1}{8}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}i$+1+$\sqrt{3}$i=$\frac{7}{8}$+$\frac{7\sqrt{3}}{8}$i．

点评 本题考查了复数的运算；对于发生的除法运算，一般要分母实数化．