Question

13．已知f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*，经计算：f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，…，照此规律f₂₀₁₅（x）=$\frac{2015-x}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 由已知中定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．结合f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，…，分析出f_n（x）解析式随n变化的规律，可得答案．

解答 解：∵f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{1}（x-1）}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{2}（x-2）}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{3}（x-3）}{{e}^{x}}$，…，
由此归纳可得：f_n（x）=$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$；
所以f₂₀₁₅（x）=$\frac{2015-x}{{e}^{x}}$；
故答案为：.$\frac{2015-x}{{e}^{x}}$．

点评 本题考查了函数求导以及归纳推理；归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．