Question

已知函数f（x）=2log_a（x+1）-log_a（1-x）其中a＞0，且a≠1，
（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）当0＜a＜1时，解关于x的不等式f（x）≥0；
（3）当a＞1，且x∈[0，1）时，总有f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

x+1＞0 1-x＞0

可得x∈（-1，1），从而得到函数f（x）的定义域．
（2）由f（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x），解对数不等式可得

x+1＞0 1-x＞0 (x+1)2≤1-x

，由此求得它的解集．
（3）设u=

(x+1)2

1-x

=(1-x)+

4

1-x

-4，令t=1-x，t∈（0，1]，利用单调性求得u的最小值为1，可得loga

(x+1)2

1-x

的最小值为0，从而求得m的取值范围．

解答：解：（1）由

x+1＞0 1-x＞0

 可得x∈（-1，1），故函数f（x）的定义域为（-1，1）．…（3分）
（2）由f（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x），
∵0＜a＜1，∴

x+1＞0 1-x＞0 (x+1)2≤1-x

，∴x∈（-1，0]． …（8分）
（3）由题意知：a＞1且x∈[0，1）时，loga

(x+1)2

1-x

≥m恒成立．…（9分）
设u=

(x+1)2

1-x

=(1-x)+

4

1-x

-4，令t=1-x，t∈（0，1]，∴u(t)=t+

4

t

-4t∈(0，1]，…（10分）
设0＜t₁＜t₂≤1，∵u(t1)-u(t2)=(t1-t2)(1-

4

t1t2

)＞0，∴u（t）在t∈（0，1]上单调递减，
∴u（t）的最小值为u(1)=1+

4

1

-4=1．…（12分）
又∵a＞1，∴loga

(x+1)2

1-x

的最小值为0，…（13分）
∴m的取值范围是m≤0．…（14分）

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数不等式的解法，利用单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．