Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²-2ax-2，a为常数．
（1）如果f（x）为偶函数．求a的值；
（2）当a＞1时，比较f（a²十2）与f（2a）的大小，并证明．

Answer 1

分析：（1）直接根据f（x）为偶函数则f（-x）=f（x）建立等式，从而求出a的值；
（2）根据开口方向和对称轴可得f（x）在（a，+∞）上的单调性，然后根据a²十2与2a的大小根据单调性可得f（a²十2）与f（2a）的大小．

解答：解：（1）∵f（x）为偶函数
∴f（-x）=f（x）即（-x）²-2a（-x）-2=x²-2ax-2
则4ax=0对于任意x成立，
∴a=0
（2）∵a²十2-2a=（a-1）²+＞0
∴a²十2＞2a
∵f（x）=x²-2ax-2的对称轴为x=a，开口向上
∴f（x）=x²-2ax-2在（a，+∞）上单调递增
而a＞1则a²十2＞2a＞a
∴f（a²十2）＞f（2a）

点评：本题主要考查了二次函数的性质，以及函数奇偶性的运用，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．