Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b，为实数），F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

．
（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x≥0）成立，求F（x）表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0，知b=a+1．由f（x）≥0恒成立，知△=b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，由此能求出F（x）表达式．
（2）由f（x）=x²+2x+1，知g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）+1．由于g（x）在[-3，3]上是单调函数，能求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴b=a+1．
由f（x）≥0恒成立，
知△=b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1．
从而f（x）=x²+2x+1．
∴F（x）=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

．
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）+1．
由于g（x）在[-3，3]上是单调函数，
知-

2-k

2

≤-3或-

2-k

2

≥3，
解得k≤-4或k≥8．

点评：本昰考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．