[题目]设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数.对任意实数x.y∈R.都有f.若a1= .an=f(n)(n∈N*).则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是( )A.[ .2)B.[ .2]C.[ .1)D.[ .1] 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1= ，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（）
A.[ ，2）
B.[ ，2]
C.[ ，1）
D.[ ，1]

【答案】C
【解析】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y）， ∴令x=n，y=1，得f（n）f（1）=f（n+1），
即 = =f（1）= ，
∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，
∴an=f（n）=（）n ，
∴Sn= =1﹣（）n∈[ ，1）．
故选C．
根据f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得Sn ，进而Sn的取值范围．

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