Question

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）当a=0时，求函数y=f（x）+1的零点；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（3）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分x≥0和x＜0两种情况解x|x|-1=0即可
（2）分x≥a和x＜a两种情况去绝对值符号，再在每一段上利用二次函数的单调性分别求单调区间
（3）有已知的x的范围，转化为关于a的恒成立问题

解答：解：（1）当a=0时，y=f（x）+1=f（x）=x|x|-2+1，
当x≥0?x²=1?x=1或x=-1（负舍），
当x＜0?x²=-1不成立，
故y=f（x）+1的零点为  1
（2）f(x)=x|x-a|-2=

x2-ax-2=(x- a 2 )2-2- a2 4 ，x＞a -x2+ax-2=-(x= a 2 )2-2+ a2 4 ，x≤a.

当a＞0，f（x）单调递增区间(-∞，

a

2

)和（a，+∞），单调递减区间[

a

2

，a]
（3）（i）当x=0时，显然f（x）＜0成立；
（ii）当x∈（0，1]时，由f（x）＜0，可得x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，
令g(x)=x-

2

x

(x∈(0，1])，h(x)=x+

2

x

(x∈(0，1])，则有[g（x）]_max＜a＜[h（x）]_min．由g（x）单调递增，可知[g（x）]_miax=g（1）=-1．又h(x)=x+

2

x

=(

2 x

-

x

)2+2(x∈(0，1])是单调减函数，故[h（x）]_min=h（1）=3，故所求a的取值范围是（-1，3）．

点评：带绝对值的函数找单调区间和最值时，一般是先去绝对值符号，在每一段上分别求单调区间，最后合并来作答．