Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，y＞0)的离心率为

3

2

，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且|

PA

+

PB

|的最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量

PA

+

PB

与

QA

+

QB

互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设O为坐标原点，易知PO为△PAB的中线，从而可得|

PA

+

PB

|=2|

PO

|，易知当点P在短轴上定点时|

PA

+

PB

|取得最小值2，由此可求得b值，再由离心率及a²=b²+c²可求得a；
（2）易知直线NP，NQ斜率均存在，设两直线方程分别为：L_NP：y=k（x-1），LNQ：y=-

1

k

(x-1)，由

PA

+

PB

=2

PO

，

QA

+

QB

=2

QO

（O为原点），知只需满足

OP

⊥

OQ

即可，由KOP•KOQ=

k(xP-1)

xP

•

- 1 k (xQ-1)

xQ

=-1，可得x_P+x_Q=1①，根据点P、Q在椭圆上得，KOP•KOQ=

4-xP2

2xP

•

4-xQ2

2xQ

=-1，联立①可得xPxQ=-

2

3

②，可判断①②构成方程组有解，从而可得结论；

解答：解：（1）设O为坐标原点，则PO为△PAB的中线，
∴

PA

+

PB

=2

PO

，|

PA

+

PB

|=2|

PO

|，
因此，当P在短轴上顶点时，|

PA

+

PB

|取得最小值2，即2b=2，解得b=1，
依题意得：

c

a

=

3

2

，即

a2-b2

a

=

3

2

，即

a2-1

a

=

3

2

，∴a²=4，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1(y＞0)；
（2）由题意知直线NP，NQ斜率均存在，设为K_NP=k，KNQ=-

1

k

，
则此两直线方程分别为：L_NP：y=k（x-1），LNQ：y=-

1

k

(x-1)，
又

PA

+

PB

=2

PO

，

QA

+

QB

=2

QO

（O为原点），因此，只要满足

OP

⊥

OQ

即可，
故KOP•KOQ=

k(xP-1)

xP

•

- 1 k (xQ-1)

xQ

=-1，化简为：x_P+x_Q=1，
由半椭圆方程得：yP=

4-xP2

2

，yQ=

4-xQ2

2

，则KOP•KOQ=

4-xP2

2xP

•

4-xQ2

2xQ

=-1，即

16-4(xP2+xQ2)+xP2xQ2

=-4x_Px_Q，
令x_Px_Q=t≤0且x_P+x_Q=1，故

16-4(1-2t)+t2

=-4t，
化简为：15t²-8t-12=0，解得t=-

2

3

或t=

6

5

（舍去），∴

xP+xQ=1 xPxQ=- 2 3

，
解之得：

xP= 3+ 33 6 xQ= 3- 33 6

或

xP= 3- 33 6 xQ= 3+ 33 6

，
因此，直线NP、NQ能使得

PA

+

PB

与

QA

+

QB

互相垂直．

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线斜率及其方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生对问题的探究能力及解决问题的能力．