Question

（2012•许昌三模）已知函数f（x）=e^x，曲线y=f（x）在点（x₀，y₀）处的切线方程为y=g（x）．
（Ⅰ）证明：对?x∈R，f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥1+

ax

1+x

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出切线方程，构造函数h（x）=f（x）-g（x），求导函数，确定函数的单调性，即可证得结论；
（Ⅱ）分类讨论：当a≤1时，可得x≥0时，f（x）≥1+

ax

1+x

恒成立；（2）当a＞1时，令H（x）=（f（x）-1）（x+1）-ax=（e^x-1）（x+1）-ax，可证明存在区间（0，x₀）使得H'（x）＜0，H（x）单调递减，使得H（x）＜H（0）=0，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：由题意知g(x)=ex0(x-x0)+ex0----（2分）
令h(x)=f(x)-g(x)=ex-ex0(x-x0+1)，则h′(x)=ex-ex0，----（3分）
当x＜x₀时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞x₀时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；----（5分）
故h（x）≥h（x₀）=0，即f（x）≥g（x）．----（6分）
（Ⅱ）解：（1）当a≤1时，由（Ⅰ）知，当x₀=0得e^x≥x+1．----（7分）
故f(x)-1-

ax

1+x

=ex-1-

ax

1+x

≥x- ax 1+x = x(x+1-a) 1+x ≥0

．----（9分）
（2）当a＞1时，令H（x）=（f（x）-1）（x+1）-ax=（e^x-1）（x+1）-ax，
则H'（x）=e^x（2+x）-1-a，
令F（x）=H'（x）=e^x（2+x）-1-a，则F'（x）=e^x（3+x）＞0，
故H'（x）在[0，+∞）上单调递增，而H'（0）=1-a＜0，
故存在区间（0，x₀）使得H'（x）＜0，H（x）单调递减，使得H（x）＜H（0）=0．
与f(x)≥1+

ax

1+x

在[0，+∞）上恒成立矛盾．----（11分）
综上可得a≤1．----（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查恒成立问题，构造函数，正确运用导数是关键．