Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD的夹角为30°．
（1）求平面PCE与平面CED夹角的大小；
（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2．

Answer 1

解：（1）取AD的中点O，连接PO．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD
以O为原点，过O作AB平行线为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连OC，
则∠PCO为PC与面ABCD所成角
∴∠PCO=30°
设AD=2a，则PO=a，∴OC=3a，∴CD=2a
∴P（0，0，a），C（2a，a，0），E（a，-a，0）
∴=（a，-a，-a），=（2a，a，-a），
设平面PCE的法向量为=（1，y，z），则
∴y=，z=，∴=（1，，），
又面DEC的法向量为=（0，0，a）
∴cos＜＞==
∴平面PCE与平面CED夹角的大小为45°
（2）∵D（0，a，0），∴=（-2a，0，0）
∴点D到平面PCE的距离为d==
∵点D到平面PCE的距离为2
∴=2，∴a=
∴AD=2a=．
分析：（1）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，以O为原点，过O作AB平行线为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连OC．求出平面PCE的法向量、面DEC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PCE与平面CED夹角的大小；
（2）利用点D到平面PCE的距离为2，求出D的坐标，即可，求得AD的长．
点评：本题考查面面角，考查点到面的距离的计算，考查向量知识的运用，求得平面的法向量是关键．