Question

9．在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．如果半球的半径等于1，正三棱锥的底面边长为$3\sqrt{2}$，则正三棱锥的高等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 画出图形，设三棱锥的高 PO=x，在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，即可求出高的值．

解答 解：根据题意，画出图形如下，
其中，立体图形只画出了半球的底面．
∵正三棱锥的底面边长为$3\sqrt{2}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设三棱锥的高 PO=x，在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，
∴$\sqrt{\frac{3}{2}+{x}^{2}}•1=\frac{\sqrt{6}}{2}•x$，
∴x=$\sqrt{3}$
故选：D．

点评 本题考查几何体的内接球的问题，三角形相似的应用，考查空间想象能力以及计算能力．