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    设函数

    （Ⅰ）证明其中为k为整数

    （Ⅱ）设为的一个极值点，证明

    （Ⅲ）设在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明：

    （Ⅰ）同解析；（Ⅱ）同解析；（Ⅲ）同解析。


    解析:

    （I）由于函数定义，对任意整数，有

    （II）函数在R上可导，  ①

    令，得：

    若，则，这与矛盾，所以。

    当时，  ②

    由于函数的图象和函数的图象知，有解。

    当时，

    （II）证明：由函数的图象和函数的图象知，对于任意整数，在开区间（，）内方程只有一个根，

    当时，，当时，

    而在区间（，）内，要么恒正，要么恒负

    因此时的符号与时的符号相反

    综合以上，得：的每一个根都是的极值点 ③

    由得，当时，，即对于时， ④

    综合 ③、④ ：对于任意 ，

    由：和，得：  ⑤

    又：，

    但时， ⑥

    综合 ⑤、⑥ 得：

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=lg（x+
    		x2+1
    ）．
    （1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
    （2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•福建模拟）已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
    （Ⅰ）求f（x）的解析式；
    （Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
    （ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
    （ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为fn′（x），且满足f2′[x1+a(x2-x1)]=
    f2(x2)-f2(x1)
    x2-x1
    ，a，x1，x2为常数，x1≠x2．
    （1）试求a的值；
    （2）记函数F（x）=b•f1（x）-lnf3（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值为6，求实数b的值；
    （3）对于（2）中的b，设函数g(x)=(
    b
    3
    )x    ，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数g（x）图象上两点，若g′(x0)=
    y2-y1
    x2-x1
    ，试判断x0，x1，x2的大小，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=x3-2x2-4x-7
    （Ⅰ）求f（x）的单调区间及极小值；
    （Ⅱ）确定方程f（x）=0的根的一个近似值，使其误差不超过0.5，并说明理由；
    （Ⅲ）当a＞2时，证明：对任意的实数x＞2，恒有f（x）≥f（a）+f′（a）（x-a）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数ft(x)=
    1
    1+x
    -
    1
    (1+x)2
    (t-x)    ，其中t为常数，且t＞0．
    （Ⅰ）求函数ft（x）在（0，+∞）上的最大值；
    （Ⅱ）数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），且设bn=1-
    1
    an
    ，证明：对任意的x＞0，bn≥f
    1
    2n
    (x)    ，n=1，2，…．

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