Question

设函数f（x）=lg（x+

x2+1

）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；

Answer 1

分析：（1）根据题意先判断再用定义证明，证明时应先求出定义域并判断是否关于原点对称，再验证f（x）和f（-x）的关系，再由奇函数的定义得出结论；
（2）用定义证明函数单调性的五个步骤，本题是对真数作差比较大小，利用分子有理化进行变形在判断真数的大小，在转化到比较函数值得大小．

解答：解：（1）它是奇函数．
由

x+ x2+1 ＞0 x2+1≥0

得x∈R，
即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵f(-x)=lg(-x+

x2+1

)=lg(x+

x2+1

)-1=-lg(x+

x2+1

)=-f(x)
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=lg

x1+ x12+1

x2+ x22+1

．
令t=x+

x2+1

，则t₁-t₂=（x₁+

x12+1

）-（x₂+

x22+1

）
=（x₁-x₂）+（

x12+1

-

x22+1

）=（x₁-x₂）+

(x1-x2)(x1+x2)

x12+1 + x22+1

．

=

(x1-x2)( x12+1 + x22+1 +x1+x2)

x12+1 + x22+1

∵x₁-x₂＜0，

x12+1

+x₁＞0，

x22+1

+x₂，

x12+1

+

x22+1

＞0，
∴t₁-t₂＜0，∴0＜t₁＜t₂，∴0＜

t1

t2

＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的证明，即用定义法进行证明，注意证明奇偶性时应先判断定义域关于原点对称；证明单调性的步骤即设值、作差、变形、判断符号、下结论，对于有关对数函数的复合函数时可转化为比较真数的大小．