Question

【题目】设函数.

(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；

(Ⅱ)若函数有两个极值点，且，求证: ；

(Ⅲ)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的递增区间为，递减区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，求导数，分别令和，即可求出的单调区间；（Ⅱ）根据函数由两个极值点，则是方程的两个不相等的实根，结合韦达定理，可得，构造新函数，求出其单调性，即可得证；（Ⅲ）根据题意写出的表达式，求出在上的单调性，可得的最大值，列出不等式，构造新函数 ，分类讨论，确定单调性，即可求出的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）当时， ，当时或，

时，∴ 的递增区间为，递减区间为

（Ⅱ）函数有两个极值点，则是方程的两个不相等的实根，所以， ，即， ，所以

，().

令，()，则

所以在上单调递减. ，即.

（Ⅲ）∵

∴ ，

∵，

∴， 在上单调递增，

∴ ，

∵ 在上恒成立

令 ， ，则在上恒成立．

当时， ， 在上单调递减， ，不合题意；

当时， ， ，

（1），即时， 在上单调递减，存在不合题意；

（2），即时， 在上单调递增， ，满足题意．

综上，实数的取值范围是．