Question

【题目】已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， ，AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF．

Answer 1

【答案】
（1）解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：

O（0，0，0），A（0，1，0），B（﹣1，0，0），C（0，﹣1，0，），D（1，0，0，），

E（0，﹣1，1），F（0，1，1），M（0，0，1）

∵

∴ ，即AM∥OE，

又∵AM平面BDE，OE平面BDE，

∴AM∥平面BDE

（2）解：∵ ，

∴ ，

∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF．

【解析】（1）利用空间向量来证明，先建立空间直角坐标系，求出定点坐标，欲证AM∥平面BDE，只需用坐标证明向量 与平面BDE上的一个向量是平行向量即可．（2）欲证AM⊥平面BDF，只需证明向量 与平面BDF中的两个不共线向量垂直即可，也即在平面BDF中找到两个向量，与向量 数量积等于0．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．