Question

【题目】已知f（x）=lnx，g（x）= x2+mx+ （m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若h（x）=f（x）﹣x+3，求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）= ，∴f'（1）=1．∴直线l的斜率为k=1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．

∴直线l的方程为y=x﹣1．

又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，

∴方程组 有一解．由上述方程消去y，并整理得

x2+2（m﹣1）x+9=0 ①

方程①有两个相等的实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0

解得m=4或m=﹣2；∵m＜0∴m=﹣2

（2）解：由（1）可知g（x）= ﹣2x+ ，∴g'（x）=x﹣2

h（x）=f（x）﹣x+13=lnx﹣x+3（x＞0）．h'（x）= ﹣1= ．

∴当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0．

∴当x=1时，h（x）取最大值，其最大值为2

（3）解：证明： f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln ．

∵0＜b＜a，0＜

由（2）知当x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）∴即x∈（0，1）时，lnx﹣x+3＜2，lnx＜x﹣1

ln ＜ ．

∴f（a+b）﹣f（2a）＜

【解析】（1）首先求出直线l方程为y=x﹣1，直线l与函数y=g（x）的图象相切，所以有x2+2（m﹣1）x+9=0方程有两个相等实根．（2）利用导数判断函数的单调性，直接求出函数的最大值即可；（3）由（2）知当x∈（0，1）时，h（x）＜h（1），即x∈（0，1）时，lnx﹣x+3＜2，lnx＜x﹣1来证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．