Question

【题目】已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点， 是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】试题分析：根据题意列方程，利用待定系数法解方程求出椭圆的标准方程，第二步设出点P的坐标，满足椭圆方程作为条件（1），写出直线AP、BP的方程，表示点M、N的坐标，得到和 的长的表达式，两者相乘，代入条件（1）并化简所得的积，化简后恰好为.

试题解析：

（1）由题意得，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）及题意可画图，如图，不妨令．设，则．

令，得，从而；直线的方程为，

令，得，从而．

所以

．

当时， ,

所以,综上可知．