Question

梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.

已知在梯形ABCD中(如图2-1-11),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证:AC平分∠BCD,DB平分∠CBA.

图2-1-11

Answer 1

证明:(1)等腰三角形两底角相等(大前提),?

△DAC是等腰三角形,DA、DC是两腰(小前提),?

∠1=∠2(结论).?

(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提),?

∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角(小前提),?

∠1=∠3(结论).?

(3)等于同一个量的两个量相等(大前提),?

∠2和∠3都等于∠1(小前提),?

∠2=∠3(结论),即AC平分∠BCD.?

(4)同理,DB平分∠CBA.

点评:这个证明中如果把(4)也详细地写出,则一共通过六次三段论的形式.因此一个命题的证明形式,确切地常叫做复合三段论的形式,或说命题的推证方

法是复合三段论法,但是事实上,每一次三段论的大前提并不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某大三段论的结论,也就不再写出了.如例3的证明可写成:?

∵DA=DC(省略了大前提),∴∠1=∠2.?

∵AD∥BC,且被AC截得内错角为∠1和∠3(省略大前提).?

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3,即AC平分∠BCD(省略大前提,小前提).?

同理,可证DB平分∠ABC.?

这样,一般地在推论命题时所采用的这种表达方法,就叫做简化的复合三段论法.