Question

18．求下列函数的定义域和值域：
（1）y=2${\;}^{\frac{1}{x}}$-1；
（2）y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{2{x}^{2}-2}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{x}≠0$便可得到${2}^{\frac{1}{x}}＞0$，且${2}^{\frac{1}{x}}≠1$，这样即可得出${2}^{\frac{1}{x}}-1$的范围，从而得出该函数的值域；
（2）根据2x²-2≥-2以及指数函数$y=（\frac{1}{3}）^{x}$为减函数，便可得出$0＜（\frac{1}{3}）^{2{x}^{2}-2}≤（\frac{1}{3}）^{-2}$，这样便可得出该函数的值域．

解答 解：（1）$\frac{1}{x}≠0$；
∴${2}^{\frac{1}{x}}≠1$；
∴${2}^{\frac{1}{x}}＞0$，且${2}^{\frac{1}{x}}≠1$；
∴${2}^{\frac{1}{x}}-1＞-1$，且${2}^{\frac{1}{x}}-1≠0$；
即y＞-1，且y≠0；
∴该函数的值域为：{y|y＞-1，且y≠0}；
（2）2x²-2≥-2；
∴$（\frac{1}{3}）^{2{x}^{2}-2}≤（\frac{1}{3}）^{-2}=9$，且$（\frac{1}{3}）^{2{x}^{2}-2}＞0$；
即0＜y≤9；
∴该函数的值域为：（0，9]．

点评 考查函数值域的概念，指数函数的单调性，根据单调性定义求函数值域，以及反比例函数的值域，二次函数的值域．