Question

10．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-y+1≥0}\\{4x+y-2≥0}\end{array}\right.$，求$\frac{x-y}{x+y}$的取值范围．

Answer 1

分析 令x-y=v，x+y=u，则$x=\frac{u+v}{2}，y=\frac{u-v}{2}$，代入约束条件转化为关于u，v的不等式组，然后在画出可行域，把$\frac{x-y}{x+y}$转化为$\frac{v}{u}$，然后由其几何意义求得答案．

解答 解：令x-y=v，x+y=u，则$x=\frac{u+v}{2}，y=\frac{u-v}{2}$，
代入$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-y+1≥0}\\{4x+y-2≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{u≥1}\\{v≥-1}\\{5u+3v-4≥0}\end{array}\right.$，
画出约束条件如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{v=-1}\\{5u+3v-4=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{7}{5}，-1$），
则$\frac{x-y}{x+y}$=$\frac{v}{u}$，
其几何意义为可行域内的动点与原点联立的斜率，
∵${k}_{OA}=\frac{-1}{\frac{7}{5}}=-\frac{5}{7}$，
∴$\frac{v}{u}$的范围是[$-\frac{5}{7}，+∞$）．
即$\frac{x-y}{x+y}$的取值范围是[$-\frac{5}{7}，+∞$）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．