【题目】如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AC=,BC=BB1=2.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求点D到平面ABC1的距离d.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】
(I)利用勾股定理逆定理证明AC⊥AB,结合AC⊥AA1可得AC平面ABB1A1.
(II)根据列方程解出d.
(Ⅰ)证明:∵在底面ABCD中,AB=1,,BC=2,
∴BC2=AC2+AB2,即AB⊥AC,
∵侧棱AA1⊥底面ABCD,AC平面ABCD,
∴AA1⊥AC,
又∵AA1∩AB=A,AA1平面ABB1A1,AB平面ABB1A1,
∴AC⊥平面ABB1A1.
(Ⅱ)连接DB,DC1,
由(Ⅰ)知△ABC为直角三角形,且,
∴S△ABD==S△ABC=
,
又∵侧棱CC1⊥底面ABCD,
∴,
∵AB⊥AC,AB⊥CC1,AC∩CC1=C,
∴AB⊥平面ACC1,且AC1平面ACC1,
∴AB⊥AC1,
又∵,
∴,
∴=
,
解得.
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【题目】已知椭圆经过点
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线与椭圆
交于
两点,点
是椭圆
的右顶点,直线
与直线
分别与
轴交于
两点,试问在
轴上是否存在一个定点
使得
?若是,求出定点
的坐标;若不是,说明理由.
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【题目】(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
试写出随机变量的分布列(用表格格式);
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,当x=
时,y最大值1,当x=
时,取得最小值-1
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)写出此函数取得最大值时自变量x的集合和它的单调递增区间.
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【题目】已知函数f(x)=emx+x2﹣mx(m∈R).
(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若m<0,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e+1)y=0垂直.
(i)当x>0时,试比较f(x)与f(﹣x)的大小;
(ii)若对任意x1 , x2(x1≠x2),且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2<0.
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【题目】如图所示,已知椭圆:
的长轴为
,过点
的直线
与
轴垂直,椭圆
上一点与椭圆
的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2) 设是椭圆
上异于
,
的任意一点,连接
并延长交直线
于点
,
点为
的中点,试判断直线
与椭圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆C的方程为 (θ为参数).以坐标原点O为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,直线
的极坐标方程
.
(Ⅰ)当时,判断直线
与
的关系;
(Ⅱ)当上有且只有一点到直线
的距离等于
时,求
上到直线
距离为
的点的坐标.
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【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量值落在的产品为合格品,否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表,如图是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品质量/克 | 频数 |
(490,495] | 6 |
(495,500] | 8 |
(500,505] | 14 |
(505,510] | 8 |
(510,515] | 4 |
甲流水线样本频数分布表:
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
(1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图;
(2)若以频率作为概率,试估计从乙流水线任取件产品,该产品恰好是合格品的概率;
(3)由以上统计数据完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关?
附表:
(参考公式: )
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【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,则在这个子数中第2014个数是( )
A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989
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