Question

已知数列a_n=

1

n

ln(1+

1

n

)+

1

2n3

-

1

3n4

．数列{a_n}的前n项和为S_n．求证S_n＜

33

20

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：令f（x）=ln（1+x）-x，（0≤x≤1），利用导数可得函数f（x）在0≤x≤1内单调递减，于是ln（1+x）≤x，xln（1+x）＜x²，可得

1

n

ln(1+

1

n

)≤

1

n2

，
另一方面：

1

2n3

-

1

3n4

=

3n-2

6n4

＜

3n

6n4

=

1

2n3

≤

1

2n2

，可得a_n＜

3

2(n+1)n

=

3

2

(

1

n

-

1

n+1

)，即可证明．

解答： 证明：令f（x）=ln（1+x）-x，（0≤x≤1），则f′（x）=

1

1+x

-1＜0，
因此函数f（x）在0≤x≤1内单调递减，
∴f（x）≤f（0），
∴ln（1+x）≤x，
∴xln（1+x）＜x²，
∴

1

n

ln(1+

1

n

)≤

1

n2

，
另一方面：

1

2n3

-

1

3n4

=

3n-2

6n4

＜

3n

6n4

=

1

2n3

≤

1

2n2

，
∴a_n=

1

n

ln(1+

1

n

)+

1

2n3

-

1

3n4

＜

3

2n2

＜

3

2(n+1)n

=

3

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴数列{a_n}的前n项和为S_n＜

3

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

3

2

(1-

1

n+1

)＜

3

2

＜

33

20

，

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、“裂项求和”、“放缩法”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于难题．