Question

6．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x²（x＞0）和y=x³（x＞0）均相切，切点分别为A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 求出导数得出切线方程，即可得出结论．

解答 解：由y=x²，得y′=2x，切线方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²，
由y=x³，得y′=3x²，切线方程为y-x₂³=3x₂²（x-x₂），即y=3x₂²x-2x₂³，
∴2x₁=3x₂²，x₁²=2x₂³，
两式相除，可得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 考查学生会利用导数求曲线上某点的切线方程的斜率，本题的突破点是分别求出切线方程得到x₁，x₂的关系．