Question

15．已知复数z=x+yi（x、y∈R）．
（1）z满足|z-4i|=|z+2|，求2^x+4^y的最小值及相应x、y值．
（2）z满足|z-1|+|z+1|=4．求|z|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由复数模长的几何意义和线段的垂直平分线可得x+2y=3，由基本不等式可得；
（2）由复数模长的几何意义$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，三角换元可得x=2cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，由复数的模长公式和三角函数可得．

解答 解：（1）∵z满足|z-4i|=|z+2|，
∴z=x+yi表示到（0，4）和（-2，0）距离相等的点，
由线段的垂直平分线可得x+2y=3，
故2^x+4^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{4}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+2y}}$=4$\sqrt{2}$，
当且仅当2^x=4^y即x=$\frac{3}{2}$且y=$\frac{3}{4}$时取等号
故2^x+4^y的最小值为4$\sqrt{2}$，相应x、y值分别为$\frac{3}{2}$和$\frac{3}{4}$；
（2）∵z满足|z-1|+|z+1|=4．
∴z在以（-1，0）和（1，0）为焦点的椭圆上
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
故可得x=2cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ
∴|z|2=4cos²θ+3sin²θ=3+cos²θ∈[3，4]，
∴|z|的取值范围为[$\sqrt{3}$，2]

点评 本题考查复数求模，涉及基本不等式和三角换元的思想，属中档题．