Question

（本小题满分12分）

    如图在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰，AB=2，PA=1,PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点。

       （1）求证：BE∥平面PDF；

（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；

（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐角。

Answer 1

（1）取PD中点为M，连ME，MF  ∵ E是PC的中点  ∴ ME是△PCD的中位线

     ∴ MECD   ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形，ABCD

∴ MEFB   ∴ 四边形MEBF是平行四边形  …………2分

     ∴ BE∥MF   …………………3分

     ∵ BE平面PDF ,MF平面PDF  ∴ BE∥平面PDF  ………4分

  （2）∵ PA⊥平面ABCD  DF平面ABCD   ∴ DF⊥PA  ……………5分

     ∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰  ∴ △DAB为正△

     ∵ F是AB中点  ∴ DF⊥AB   ……………6分

     ∵ PA、AB是平面PAB内的两条相交直线  ∴ DF⊥平面PAB  ………7分

     ∵ DF平面PDF  ∴ 平面PDF⊥平面PAB  ………………8分

  （3）（解法一）以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD、AP的方向分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知P（0，0，1）、C（，3，0）、D（0，2，0）、

F（，，0）…………………9分

     由（2）知DF⊥平面PAB，

∴ =（，-，0）是平面PAB的一个法向量  …………10分

     设平面PCD的一个法向量为（x，y，z）

     由·=（x，y，z）·(，1，0)=0得x+y=0

     由·=（x，y，z）·(0，2，-1)=0得2y-z=0

     在以上二式中令y=，则得x=-1，z=2

     ∴ =（-1，，2）  …………………11分

        设平面PAB与平面PCD所成的锐角为θ

     ∴ cosθ=|cos＜，＞|=

     ∴θ=60⁰  ∴ 平面PAB与平面PCD所成的锐角为60⁰  …………12分

（3）（解法二）设平面PAB与平面PCD的交线为，

  ∵ CD∥AB，AB平面PAB，CD平面PAB ∴ CD∥平面PAB

  ∵ CD平面PCD  ∴ CD∥  ∴ AB∥  ……………9分

        作FM⊥交于M，连MD，易知FM=AP=1 ，DF= …………10分

       由（2）知DF⊥AB  ∴ ⊥DF

      ∵ FM、DF是平面MDF内的两条相交直线，∴ ⊥平面MDF 

      ∴ ∠FMD就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角  …………11分

       在直角△FMD中，tan∠FMD= 

      ∴ ∠FMD=60⁰

      ∴ 平面PAB与平面PCD所成的锐角为60⁰  …………………12分