【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)若,均有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 增区间是,减区间是
,函数
有极小值为
;(2)
.
【解析】试题分析:I)先求函数的导函数f′(x),再解不等式f′(x)>0,得函数的单调增区间,解不等式f′(x)<0得函数的单调减区间,最后由极值定义求得函数极值
(II)构造新函数,将恒成立问题转化为求新函数的最大值问题,利用导数先求此函数的单调区间,再确定其最大值,最后解不等式求得实数a的取值范围
试题解析:
由题意,
,
(Ⅰ)由得
,函数
的单调增区间是
;
由得
,函数
的单调减区间是
∴当时,函数
有极小值为
(Ⅱ)法一,由于,均有
,
即,
恒成立,
∴,
,
由(Ⅰ),函数极小值即为最小值,
∴,解得
.
法二,因为,所以不等式等价于
,即
设,则
,
而,
显然当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减,
所以函数的最大值为
,
由不等式恒成立可得,解得
.
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【题目】已知椭圆的离心率
,右焦点
,过点
的直线交椭圆
于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点关于
轴的对称点为
,求证:
三点共线;
(3) 当面积最大时,求直线
的方程.
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【题目】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班位女同学,
位男同学中随机
抽取一个容量为的样本进行分析.
(Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,求样本中男生、女生人数分别是多少;
(Ⅱ)随机抽取位同学,数学成绩由低到高依次为:
;物理成绩由低到高依次为:
,若规定
分(含
分)以上为优秀,记
为这
位同学中数学和物理分数均为优秀的人数,求
的分布列和数学期望.
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【题目】2016年入冬以来,各地雾霾天气频发, 频频爆表(
是指直径小于或等于2.5微米的颗粒物),各地对机动车更是出台了各类限行措施,为分析研究车流量与
的浓度是否相关,某市现采集周一到周五某一时间段车流量与
的数据如下表:
时间 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
车流量 | 50 | 51 | 54 | 57 | 58 |
| 69 | 70 | 74 | 78 | 79 |
(1)请根据上述数据,在下面给出的坐标系中画出散点图;
(2)试判断与
是否具有线性关系,若有请求出
关于
的线性回归方程
,若没有,请说明理由;
(3)若周六同一时间段的车流量为60万辆,试根据(2)得出的结论,预报该时间段的的浓度(保留整数).
参考公式:
,
.
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【题目】经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出该产品获利润500元,未售出的产品,每
亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了
该农产品.以
(
)表示下一个销售季度内的市场需求量,
(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(Ⅰ)将表示为
的函数;
(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线
上的点
对应的参数
,射线
与曲线
交于点
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点,
在曲线
上,求
的值.
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