Question

证明下列各题：
（1）证明：

3

、

5

、

7

不可能成等差数列；
（2）已知x，y，a，b都是实数，且x²+y²=1，a²+b²=1，求证：|ax+by|≤1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式

分析：（1）利用反证法证明，假设

3

、

5

、

7

可能成等差数列，25=21，显然等式不成立，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项；
（2）将求证式中的“1”与题设中的“1”联系起来，利用定理可快速求解．

解答： 证明：（1）假设

3

、

5

、

7

可能成等差数列．…（2分）
则2

5

=

3

+

7

，
两边平方，得20=10+2

21

，…（5分）
即5=

21

，
则25=21，显然等式不成立．…（8分）
故

3

、

5

、

7

不可能成等差数列．…（10分）
（2）要证|ax+by|≤1
需证|ax+by|²=a²x²+2abxy+b²y²≤1．…（14分）
∵x²+y²=1，a²+b²=1∴1=（x²+y²）（a²+b²）=a²x²+b²y²+b²x²+a²y²≥a²x²+b²y²+2abxy…（19分）
故|ax+by|≤1．…（20分）

点评：本题考查用分析法和反证法证明不等式，用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，用反证法证明不等式的关键是推出矛盾．