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精英家教网在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.
(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE;
(2)求四面体A1-FEA的体积.
(3)若G是C1D1上靠近C1的四等分点,动点H在底面ABCD内,且AH=
12
,请说明点H的轨迹,并探求GH长度的最小值.
分析:(1)先证线面平行,再利用面面平行的判定定理证明平面B1FC1∥平面ADE;
(2)利用三棱锥的换底性,得VA1-AEF=VE-A1AF,求出三棱锥E-A1AF的体积即可;
(3)由AH=
1
2
,动点H在底面ABCD内,故点H的轨迹为
1
4
圆弧,根据MH≥MA-AH,求出MH,利用GH=
GH2+MH2
求得最小值.
解答:解:(1)∵E,F分别为棱BB1和DD1的中点,∴FD∥B1E,FD=B1E,
∴四边形FDEB1为平行四边形,∴DF∥FB1,DF?平面ADE,FB1?平面ADE,
∴FB1∥平面ADE,
又AD∥B1C1,AD?平面ADE,B1C1?平面ADE,∴B1C1∥平面ADE,
又FB1∩B1C1=B1,∴平面B1FC1∥平面ADE;
(2)连接EF、AF、A1F,A1E,
VA1-AEF=VE-A1AF=
1
3
×
1
2
×AA1×AD×AB=
1
6
×1×1×1=
1
6

(3)∵AH=
1
2
,动点H在底面ABCD内,∴点H的轨迹为
1
4
圆弧,
过G作GM⊥CD,垂足为M,∵MH≥MA-AH=
(
3
4
)
2
+12
-
1
2
=
3
4

又GH=
GH2+MH2
12+(
3
4
)
2
=
5
4

∴GH长度的最小值为
5
4

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点评:本题考查了面面平行的判定,棱锥的体积计算及点到点的距离的求法,考查了识图、作图能力与空间想象能力,正确判定点H的轨迹是求得GH最小值的关键.
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16、在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F,则
①四边形BFD′E一定是平行四边形;
②四边形BFD′E有可能是正方形;
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形;
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为
①③④
.(写出所有正确结论的编号)

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45°
45°

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在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交棱AA′于E,交棱CC′于F,则:
①四边形BFD′E一定是平行四边形;
②四边形BFD′E有可能是正方形;
③四边形BFD′E有可能是菱形;
④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
其中所有正确结论的序号是
 

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