Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁=4，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDB₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得CC₁⊥A₁D，A₁D⊥C₁B₁，由此能证明A₁D⊥BC₁．
（Ⅱ）由已知先求出DB₁，从而S△CDB1=

1

2

DB1×CC1=

1

2

×2

2

×4=4

2

，A到平面CDB₁的距离A₁D=

16-8

=2

2

，由此能求出三棱锥A-CDB₁的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁D，
∵AC=AB=AA₁=4，点D是棱B₁C₁的中点，
∴A₁D⊥C₁B₁，
又CC₁∩C₁B₁=C₁，∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，
又BC₁?平面BCC₁B₁，∴A₁D⊥BC₁．
（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁=4，
∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点，
DB₁=

1

2

C1B1=

1

2

16+16

=2

2

，
∴S△CDB1=

1

2

DB1×CC1=

1

2

×2

2

×4=4

2

，
∵A₁D⊥平面BCC₁B₁，
∴A到平面CDB₁的距离A₁D=

16-8

=2

2

，
∴三棱锥A-CDB₁的体积V=

1

3

S△CDB1×A1D=

1

3

×4

2

×2

2

=

16

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．