Question

已知f(x)=

4x

3x2+3

(x∈(0，2))，g(x)=

1

2

x2-lnx-a．
（1）求f（x）的值域；
（2）若?x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范围；
（3）对?x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）=g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：解题思想

分析：（1）中只需要分子分母同除以x，再利用基本不等式即可，注意到x的取值范围．
（2）题目中的问题可以转化为g（x）=0在[1，2]上有解去解决．
（3）分析题意，可知f（x）的值域是g（x）值域的子集，然后画数轴求解．

解答： 解：（1）f(x)=

4x

3x2+3

=

4

3

×

1

x+ 1 x

当x∈（0，2）时，x+

1

x

∈[2，+∞），故f(x)∈(0，

2

3

]．
（2）原问题等价于方程

1

2

x2-lnx=a(x∈[1，2])有解．
令μ(x)=

1

2

x2-lnx，则μ′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

≥0，
故μ（x）在[1，2]上单调递增．
∵μ(1)=

1

2

，μ(2)=2-ln2，∴μ(x)∈[

1

2

，2-ln2]，
故a∈[

1

2

，2-ln2]．
（3）令A={y|y=f（x），x∈（0，2）}，B={y|y=g（x），x∈[1，2]}
则原问题等价于A⊆B．
由（1）（2）可知A=(0，

2

3

]，B=[

1

2

，2-ln2]
∴

1 2 -a≤0 2 3 ≤2-ln2-a

，解得

1

2

≤a≤

4

3

-ln2
∴a∈[

1

2

，

4

3

-ln2]．

点评：在本题的三小问中．第（1）（3）中，都是求函数的值域，常用的方法有换元法，图象法，不等式法，利用单调性求解，△判别式法等等（2）的解题思路是转化成方程的问题，再利用数形结合即可解决．在高中阶段，对于“?”的考查比较多，通过讲练，学生也较易掌握，但对于“?”的理解，需要更多的分析和思考，才能准确的把握题意．