Question

如图，已知椭圆C：

x2

5

+

y2

3

=

m2

2

(m＞0)，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（1）是否存在k，使对任意m＞0，总有

OA

+

OB

=

ON

成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若

OA

•

OB

=-

1

2

(m3+4m)，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）椭圆C：

x2

5m2 2

+

y2

3m2 2

=1，c2=

5m2

2

-

3m2

2

=m2，c=m，F（m，0），直线AB：y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2 5 + y2 3 = m2 2 (m＞0)

，得（10k²+6）x²-20k²mx+10k²m²-15m²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后结合韦达定理进行求解．
（2）

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x₁x₂+k²（x₁-m）（x₂-m）=（1+k²）x₁x₂-k²m（x₁+x₂）+k₂m²=（1+k²）•由此结合

OA

•

OB

=-

1

2

(m3+4m)，能够导出实数k的取值范围．

解答：解：（1）椭圆C：

x2

5m2 2

+

y2

3m2 2

=1，c2=

5m2

2

-

3m2

2

=m2，c=m，∴F（m，0），直线AB：y=k（x-m），

y=k(x-m) x2 5 + y2 3 = m2 2 (m＞0)

，（10k²+6）x²-20k²mx+10k²m²-15m²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

20k2m

10k2+6

，
x₁x₂=

10k2m2-15m2

10k2+6

；则x_m=

x1+x2

2

=

10k2m

10k2+6

，ym=k(xm-m)=

-6km

10k2+6

，
若存在k，使AB为ON的中点，∴

OA

+

OB

=2

OM

．
∴

OA

+

OB

=(2xm，2ym)=(

20k2m

10k2+6

，

-12km

10k2+6

)，
即N点坐标为(

20k2m

10k2+6

，

-12km

10k2+6

)．由N点在椭圆上，
则

1

5

×(

20k2m

10k2+6

)2+

1

3

×(

-12km

10k2+6

)2=

m2

2

即5k⁴-2k²-3=0．∴k²=1或k²=-

3

5

（舍）．故存在k=±1使

OA

+

OB

=

ON

．
（2）

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x₁x₂+k²（x₁-m）（x₂-m）
=（1+k²）x₁x₂-k²m（x₁+x₂）+k₂m²
=（1+k²）•

10k2m2-15m2

10k2+6

-k2m•

20k2m

10k2+6

+k2m2=

(k2-15)

10k2+6

m²，
由m²•

(k2-15)

10k2+6

=-

1

2

(m3+4m)，得m²•

k2-15

10k2+6

=-

m2

2

(m+

4

m

)≤-2m²，
即k²-15≤-20k²-12，k²≤

1

7

，∴-

7

7

≤k≤

7

7

，且k≠0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．