Question

5．（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥4．
（2）设x，y为实数，若x²+y²+xy=1，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，由基本不等式可得；
（2）由题意和基本不等式可构造关于x+y的不等式，解不等式可得．

解答 解：（1）证明：∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）
=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥2+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=4
当且仅当$\frac{x}{y}$=$\frac{y}{x}$即x=y=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥4；
（2）∵x²+y²+xy=1，
∴（x+y）²-xy=1，
∴（x+y）²-1=xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$，
解关于x+y的不等式可得0≤x+y≤$\frac{4}{3}$
∴x+y的最大值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查基本不等式求最值和证明不等式，属基础题．