Question

已知向量=（1，1），向量与向量夹角为，且•=-1．
（Ⅰ）求向量；
（Ⅱ）设向量=（1，0）向量=（cosx，2cos²（-）），其中0＜x＜，若⊥，试求|+|的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设向量=（x，y），∵向量=（1，1），
则•=x+y=-1…①•=||•||•cos=-1，
即x²+y²=1
解得x=0，y=-1或x=-1，y=0
故=（-1，0），或=（0，-1），
（II）∵向量=（1，0），⊥，
则=（0，-1），
又∵向量=（cosx，2cos²（-）），
∴+=（cosx，2cos²（-）-1）=（cosx，cos（-x）），
则|+|²=cos²x+cos²（-x）=cos²x+sin²x+sinx•cosx=sin（2x+）+1，
∵0＜x＜，
∴＜2x+＜
故-1＜sin（2x+）≤1则＜sin（2x+）+1≤故＜|+|≤
分析：（I）设向量=（x，y），由已知中向量=（1，1），向量与向量夹角为，且•=-1．根据向量数量积的运算法则，可得到关于x，y的方程组，解方程可得向量的坐标；
（Ⅱ）由向量=（1，0）向量=（cosx，2cos²（-）），其中0＜x＜，若⊥，我们可以求出|+|²的表达式，利用三角函数的性质可得|+|的取值范围．
点评：本题考查的知识点是平面向量的综合题，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，模的计算公式，是解答本题的关键．