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    已知抛物线C：y2=2ax（a＜0）,过点(-1,0)作直线l交抛物线C于A、B两点，问是否存在以AB为直径且过抛物线的焦点F的圆?

    思路解析：实际的问题是：是否存在实数a，使得以AB为直径且过抛物线C的焦点F的圆存在，这里首先设出直线l的方程，代入抛物线方程，再利用根与系数关系及条件AF⊥BF求解.

    解：设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入抛物线C：y2=2ax整理得k2x2+（2k2-2a）x+k2=0

                                                                                                               ①

    若以AB为直径且过焦点F的圆存在，则AF⊥BF.

    ∵F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则·=-1，

    即k2（x1+1）（x2+1）+（x1-）（x2-）=0.                                     ②

    由方程①有x1+x2=,x1x2=1,代入②,整理得k2=.

    ∵k2＞0,∴a2+12a+4＞0且a＜0.

    解得a＜-6-4或-6+4＜a＜0.

    又当k不存在时,直线l:x=-1,可得A(-1,-),B(-1,),由kAF·kBF=-1得a=-6±4.故当a≤-6-4或-6+4≤a＜0时,存在满足题设的圆;当-6-4＜a＜-6+4时,不存在这样的圆.

    方法归纳

        在解题过程中,应注意对k进行分类讨论,还应注意a＜0对所求结果的影响.另外,在解题中,也可设直线l的方程为ky=x+1(k≠0),这对简化运算有一定的帮助.


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    精英家教网如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
    （Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．

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    已知抛物线C：y2=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
    （1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
    （2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：y2=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求证：a2=
    16(1-kb)k2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
    （I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
    （II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得
    1
    |AM|2
    +
    1
    |BM|2
    恒为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：y2=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若
    MA
    •
    MB
    =0，则k=（　　）

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