Question

8．为了推进国家“民生工程”，某市政府现提供一批经济适用房来保障居民住房．现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A，B，C3人申请，且他们的申请是相互独立的．
（1）求A，B两人不申请同一套住房的概率；
（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，先求出事件N的概率，再求A，B两人不选择同一套住房的概率．
（2）法一：随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
法二：依题意得ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）设“A，B两人申请同一套住房”为事件N，P（N）=4×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
所以A，B两人不申请同一套住房的概率是P=1-P（N）=$\frac{3}{4}$．
（2）法一、随机变量X可能取的值为0，1，2，3，那么
P（X=0）=C⁰₃（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{4}$×（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$，
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以E（X）=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．
法二、依题意得X～B（3，$\frac{1}{4}$），
所以X的分布列为P（X=k）=${C}_{3}^{k}$×（$\frac{1}{4}$）^k×（$\frac{3}{4}$）^3-k=${C}_{3}^{k}$×$\frac{{3}^{3-k}}{64}$，k=0，1，2，3．即

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以E（X）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．